DERIVADAS IMPLICITAS

 EN ESTA CLASE VIMOS UN TIPO DE DERIVADAS DIFERENTES, EN LO PERSONAL MAS COMPLICADAS YA QUE ME HE LLEGADO A CONFUNDIR EN VARIAS OCASIONES INCLUSO HE PODIDO LLEGAR AL RESULTADO PERO UN POCO ENREDADO , HASTA DUDANDO  DE MI PROPIO RESULTADO.

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita, cuando no aparece despejada la variable , sino que la relación entre  e  viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

• Función explícita  , por ejemplo 
• Función implícita , por ejemplo 

Una vez aclarado este concepto, podemos hablar de las derivadas de las  funciones implícitas.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar . Basta derivar tanto el miembro derecho como el izquierdo de la igualdad con respecto a la misma variable, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

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• ¿Cómo derivar funciones implícitas?

  Recordemos que las funciones implícitas son funciones que no están expresadas en la forma $y=f(x)$. Por ejemplo, $x^2+2xy=5$ es una función implícita.

  En algunos casos, podemos reorganizar a la función implícita para obtener una función explícita de $x$. Por ejemplo, $x^2+2xy=5$ puede escribirse como:

  $$y=\frac{5-x^2}{2x}$$

  Luego, podríamos derivar esta función usando la regla del cociente.

  Sin embargo, en muchos casos, la función implícita no puede ser expresada en la forma $y=f(x)$, como por ejemplo la función $x^2+3xy-4y^3=7$.

  En estos caso, podemos usar el siguiente proceso para derivar este tipo de funciones:

  Considera la siguiente función implícita:

  $x^2+y^2=2$

  Derivando a cada término con respecto a $x$, tenemos:

  $$\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(2)$$

  La derivada de $x^2$ en términos de $x$ es $2x$ y la derivada de 2 es 0, pero para el término $y^2$, tenemos que usar la regla de la cadena:

  $$\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dy}(y^2)\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}$$

  Entonces, la derivada de la función es:

  $$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$

  Ahora, solo tenemos que reorganizar para $\frac{dy}{dx}$:

  $$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}$$

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  https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-6-derivacion-implicita-y-derivadas-de-orden-superior/

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/derivadas/derivacion-implicita.html

• https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-2-new/ab-3-2/v/implicit-differentiation-1