MAXIMAS Y MINIMAS
EN ESTA CLASE VIMOS EL TEMA DE MAXIMAS Y MINIMAS, UN TEMA MAS SENCILLO QUE LOS OTROS QUE HEMOS VISTO, EN LO PERSONAL NADA COMPLICADO Y ME HIZO RECORDAR LOS LIMITES, EL PRIMER TEMA QUE VIMOS EN CALCULO.
Objetivos
En esta sección, aprenderás cómo se relacionan los valores máximos y mínimos de las funciones (llamados extremos) con las derivadas.
Concepto
Poder distinguir los valores más pequeños y más grandes de una función y dónde es que ocurren en cierto intervalo del dominio o sobre todo el dominio es de gran utilidad al momento de graficar una ecuación de una función y también para resolver problemas de “optimización”. La ubicación de estos extremos se vincula con el comportamiento de la derivada. Anteriormente aprendiste, al trabajar con funciones cuadráticas (parábolas, ), que el valor mínimo o máximo de la parábola se puede encontrar en su vértice (en el eje de simetría ). Antes del final de esta sección, ve si puedes determinar cómo es que se relacionan la derivada de la función cuadrática y el vértice
¿Para qué sirven los máximos y mínimos de una función?
Los máximos y mínimos de una función son extremadamente útiles en muchas situaciones del mundo real. Por ejemplo, si una empresa quiere maximizar sus ganancias, necesitará encontrar el punto máximo de una función que represente sus beneficios. Del mismo modo, si un ingeniero quiere minimizar el costo de producción, necesitará encontrar el punto mínimo de una función que represente los costos.
Además, en ciencias naturales, los máximos y mínimos nos ayudan a entender fenómenos como las fluctuaciones de temperatura, el comportamiento de los animales y muchos otros aspectos de la naturaleza. Identificar estos puntos críticos es esencial para hacer predicciones y tomar decisiones informadas.
¿Qué son los puntos críticos de una función?
Para encontrar los máximos y mínimos de una función, primero debemos identificar los puntos críticos. Un punto crítico de una función es un valor de la variable donde la derivada de la función es cero o no existe. En otras palabras, son los puntos donde la pendiente de la curva de la función se aplana o cambia de dirección.
Por ejemplo, si tenemos una función 
, los puntos críticos se encuentran resolviendo la ecuación 
. Estos puntos son candidatos a ser máximos, mínimos o puntos de inflexión (donde la curva cambia de concavidad).
Criterios para determinar máximos y mínimos de una función
Una vez que hemos identificado los puntos críticos, necesitamos determinar si cada uno de ellos es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. Para ello, utilizamos dos criterios principales: el criterio de la primera derivada y el criterio de la segunda derivada.
El criterio de la primera derivada nos dice que si la derivada de la función cambia de positiva a negativa en un punto crítico, entonces ese punto es un máximo. Si la derivada cambia de negativa a positiva, entonces ese punto es un mínimo.
El criterio de la segunda derivada implica que si la segunda derivada de la función es positiva en un punto crítico, entonces ese punto es un mínimo, porque la función es cóncava hacia arriba. Si la segunda derivada es negativa, entonces el punto es un máximo, porque la función es cóncava hacia abajo.
¿Cómo calcular los máximos y mínimos de una función?
Para calcular los máximos y mínimos de una función, seguimos un proceso en varios pasos. Primero, derivamos la función para encontrar su derivada. Luego, resolvemos la ecuación de la derivada igualada a cero para encontrar los puntos críticos.
Después, usamos el criterio de la primera o segunda derivada para determinar si cada punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. Finalmente, evaluamos la función en estos puntos para encontrar los valores de los máximos y mínimos.
¿Qué son los máximos y mínimos de una función?
La determinación del máximo y mínimo de una función es una de las aplicaciones de la derivadas con mayor importancia, veamos en qué consiste:
Se entiende por máximo o mínimo al valor mas grande o valor mas pequeño que puede adquirir una función en un punto de su gráfica.
Imagina una montaña y un valle. El punto más alto de la montaña sería un máximo, mientras que el punto más bajo del valle sería un mínimo. De manera similar, en una función matemática, el máximo es el valor más alto que puede alcanzar la función en un intervalo, y el mínimo es el valor más bajo.
Existen dos tipos de máximos y mínimos: absolutos y relativos. Los máximos y mínimos absolutos son los puntos más altos y más bajos en todo el dominio de la función. Por otro lado, los máximos y mínimos relativos son los puntos más altos y más bajos en una región específica del dominio de la función.
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