SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

 EN ESTA CLASE VIMOS UN NUEVO TEMA, HASTA AHORA EL MAS ENREDOSO EN LO PERSONAL, UN POCO MAS COMPLICADO QUE LOS ANTERIORES, YA QUE ANTES DE EMPEZAR DEBEMOS DE SABER QUE FORMULA DE VARIAS PODEMOS UTILIZAR.

En esta sección, exploramos las integrales que contienen expresiones de la forma a2−x2−−−−−−√,$\sqrt{a^2-x^2},$ a2+x2−−−−−−√,$\sqrt{a^2+x^2},$ y x2−a2−−−−−−√,$\sqrt{x^2-a^2},$ donde los valores de a$a$ son positivos. Ya hemos encontrado y evaluado integrales que contienen algunas expresiones de este tipo, pero muchas siguen siendo inaccesibles. La técnica de la sustitución trigonométrica es muy útil para evaluar estas integrales. Esta técnica utiliza la sustitución para reescribir estas integrales como integrales trigonométricas.

Integrales que implican a2−x2−−−−−−√$\sqrt{a^2-x^2}$

Antes de desarrollar una estrategia general para las integrales que contienen a2−x2−−−−−−√,$\sqrt{a^2-x^2},$ considere la integral ∫9−x2−−−−−√dx.${\displaystyle \int \sqrt{9-x^2}}dx.$ Esta integral no puede evaluarse con ninguna de las técnicas sobre las que hemos hablado hasta ahora. Sin embargo, si hacemos la sustitución x=3senθ,$x=3\text{sen}\theta ,$ tenemos dx=3cosθdθ.$dx=3\text{cos}\theta d\theta .$ Después de sustituir en la integral, tenemos

∫9−x2−−−−−√dx=∫​9−(3senθ)2−−−−−−−−−−√3cosθdθ.$${\displaystyle \int \sqrt{9-x^2}dx}={{\displaystyle \int }}^{\text{}}\sqrt{9-{(3\text{sen}\theta )}^2}3\text{cos}\theta d\theta .$$

Tras simplificar, tenemos

∫​9−x2−−−−−√dx=∫​91−sen2θ−−−−−−−−√cosθdθ.$${{\displaystyle \int }}^{\text{}}\sqrt{9-x^2}dx={{\displaystyle \int }}^{\text{}}9\sqrt{1-{\text{sen}}^2\theta }\text{cos}\theta d\theta .$$

Supongamos que 1−sen2θ=cos2θ,$1-{\text{sen}}^2\theta ={\text{cos}}^2\theta ,$ ahora tenemos

∫​9−x2−−−−−√dx=∫​9cos2θ−−−−√cosθdθ.$${{\displaystyle \int }}^{\text{}}\sqrt{9-x^2}dx={{\displaystyle \int }}^{\text{}}9\sqrt{{\text{cos}}^2\theta }\text{cos}\theta d\theta .$$

Suponiendo que cosθ≥0,$\text{cos}\theta \ge 0,$ tenemos

∫​9−x2−−−−−√dx=∫​9cos2θdθ.$${{\displaystyle \int }}^{\text{}}\sqrt{9-x^2}dx={{\displaystyle \int }}^{\text{}}9{\text{cos}}^2\theta d\theta .$$

En este punto, podemos evaluar la integral utilizando las técnicas desarrolladas para integrar potencias y productos de funciones trigonométricas. Antes de completar este ejemplo, echemos un vistazo a la teoría general que hay detrás de esta idea.

Para evaluar las integrales que implican a2−x2−−−−−−√,$\sqrt{a^2-x^2},$ hacemos la sustitución x=asenθ$x=a\text{sen}\theta$ y dx=acosθ.$dx=a\text{cos}\theta .$ Para ver que esto realmente tiene sentido, considere el siguiente argumento: El dominio de a2−x2−−−−−−√$\sqrt{a^2-x^2}$ es [−a,a].$[\text{−}a,a].$ Por lo tanto, −a≤x≤a.$\text{−}a\le x\le a.$ En consecuencia, −1≤xa≤1.$\mathrm{-1}\le \frac{x}{a}\le 1.$ Dado que el rango de senx$\text{sen}x$ en [−(π/2),π/2]$\left[\text{−}(\pi \text{/}2),\pi \text{/}2\right]$ es [−1,1],$[\mathrm{-1},1],$ hay un ángulo único θ$\theta$ que satisface −(π/2)≤θ≤π/2$\text{−}(\pi \text{/}2)\le \theta \le \pi \text{/}2$ por lo que senθ=x/a,$\text{sen}\theta =x\text{/}a,$ o, de forma equivalente, de modo que x=asenθ.$x=a\text{sen}\theta .$ Si sustituimos x=asenθ$x=a\text{sen}\theta$ en a2−x2−−−−−−√,$\sqrt{a^2-x^2},$ obtenemos

$$\begin{array}{ccccc}\hfill \sqrt{a^2-x^2}& =\sqrt{a^2-{(a\text{sen}\theta )}^2}\hfill & & & \text{Supongamos que}x=a\text{sen}\theta \text{donde}-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}.\text{Simplifique.}\hfill \\ & =\sqrt{a^2-a^2{\text{sen}}^2\theta }\hfill & & & \text{Saque el factor común}{a}^2.\hfill \\ & =\sqrt{a^2(1-{\text{sen}}^2\theta )}\hfill & & & \text{Sustituya}1-{\text{sen}}^{2}x={\text{cos}}^{2}x.\hfill \\ & =\sqrt{a^2{\text{cos}}^2\theta }\hfill & & & \text{Tome la raíz cuadrada.}\hfill \\ & =\left|a\text{cos}\theta \right|\hfill & & & \\ & =a\text{cos}\theta .\hfill & & & \end{array}$$

Dado que cosθ≥0$\text{cos}\theta \ge 0$ en −π2≤θ≤π2$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ y a>0,$a>0,$ |acosθ|=acosθ.$\left|a\text{cos}\theta \right|=a\text{cos}\theta .$ Podemos ver, a partir de esta discusión, que al hacer la sustitución x=asenθ,$x=a\text{sen}\theta ,$ podemos convertir una integral que implique un radical en una integral que incluya funciones trigonométricas. Después de evaluar la integral, podemos volver a convertir la solución en una expresión que implique x.$x.$ Para ver cómo hacer esto, vamos a empezar por suponer que 0<x<a.$0<x<a.$ En este caso, 0<θ<π2.$0<\theta <\frac{\pi }{2}.$ Dado que senθ=xa,$\text{sen}\theta =\frac{x}{a},$ podemos dibujar el triángulo de referencia en la Figura 3.4 como ayuda para expresar los valores de cosθ,$\text{cos}\theta ,$ tanθ,$\text{tan}\theta ,$ y las funciones trigonométricas restantes en términos de x.$x.$ Se puede demostrar que este triángulo produce realmente los valores correctos de las funciones trigonométricas evaluadas en θ$\theta$ para todo θ$\theta$ que satisface −π2≤θ≤π2.$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}.$ Es útil observar que la expresión a2−x2−−−−−−√$\sqrt{a^2-x^2}$ aparece en realidad como la longitud de un lado del triángulo. Por último, si θ$\theta$ aparece solo, utilizamos θ=sen−1(xa).$\theta ={\text{sen}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{x}{a}\right).$

Figura 3.4 Un triángulo de referencia puede ayudar a expresar las funciones trigonométricas evaluadas en θ$\theta$ en términos de x.$x.$

Lo esencial de este debate se resume en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/3-3-sustitucion-trigonometrica